首先，唯一确定的是没有确定. 其次，作为结果的每一个决定都是一个权衡概率的问题. 第三，尽管存在不确定性，我们必须做出决定，必须采取行动. 最后，我们不仅要根据结果来判断决策，还要根据这些决策是如何做出的. ——罗伯特·E. 鲁宾
最重要也是最具挑战性的方面之一 预测 处理不确定性是检验未来的内在因素吗. 为杠杆收购建立并充实了数百种财务和运营模式, 启动筹资, 预算, M&自2003年以来，我目睹了各种各样的方法来实现这一目标. 每一个首席执行官, 首席财务官, 董事会成员, 投资者, 或投资委员会成员带来自己的经验和方法，以财务预测和不确定性受不同的激励影响. 通常, 将实际结果与预测进行比较，可以了解预测与实际结果之间的偏差有多大, 因此，我们需要理解并明确认识到不确定性.
我最初使用情景和敏感性分析来模拟不确定性, 仍然认为它们是非常有用的工具. 自从2010年在我的工具箱里加入了蒙特卡罗模拟, 我发现它们是一种非常有效的工具，可以提炼和改进你对风险和概率的看法. 从构建DCF估值，到M中的看涨期权估值，我都用过这种方法&A, 与贷款人讨论融资风险，指导创业公司的风险投资分配. 这种方法一直受到董事会成员、投资者和高级管理团队的欢迎. 在本文中, 我提供了一个循序渐进的教程，通过构建DCF估值模型来使用蒙特卡罗模拟进行预测.
在开始案例研究之前，让我们回顾一下处理不确定性的几种不同方法. 的概念 期望值——所有可能情况下现金流的概率加权平均值——是金融101. 但是金融专业人士, 以及更广泛的决策者, 在将这个简单的见解转化为实践时，采用截然不同的方法. 这种方法可以是完全不承认或不讨论不确定性, 一方面, 另一边是复杂的模型和软件. 在某些情况下，人们花更多的时间讨论概率，而不是计算现金流.
除了不解决这个问题, 让我们来看看处理中长期预测不确定性的几种方法. 其中许多你应该很熟悉.
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创建一个场景. 这种方法是预算、许多初创公司甚至投资决策的默认方法. 此外，不包含任何关于不确定程度的信息，也不包含对结果可能与预测不同的认识, 它可能是模糊的，并且根据涉众的不同会有不同的解释. 有些人可能会认为这是一个不切实际的目标, 实际结果更有可能达不到而不是超过的地方. 一些人将其视为有利因素多于不利因素的基准表现. 其他人可能会认为这是一个上下概率各占一半的“基本情况”. 在一些方法中, 尤其是对创业公司来说, 它是非常雄心勃勃的，到目前为止，失败或不足是更可能的结果, 但更高的贴现率被用来试图解释风险. |
 在这种方法下，长期现金流量预测中的输入都是点估计, 在本例中，产生的点估计结果为5000万欧元, 隐式概率是100%. |
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创建多个场景. 这种方法认识到，现实不可能按照单一的既定计划展开.
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 这三种不同的情景产生三种不同的结果，这里假设它们的可能性是相等的. 没有考虑高情景和低情景之外的结果概率. |
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创建明确识别概率的基本、上行和下行情况. 这是, 熊市和牛市的情况包括, 例如, 每个反面有25%的概率, 公允价值估计代表中点. 从风险管理的角度来看，这样做的一个有用的好处是尾部风险的明确分析.e.在上行和下行场景之外的事件. |
插图来自 晨星估值手册  |
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使用概率分布和蒙特卡罗模拟. 使用概率分布可以对预测中所有可能的结果进行建模和可视化. 这不仅可以在聚合级别上完成, 但也适用于详细的个人输入, 假设, 和司机. 然后使用蒙特卡罗方法在总体水平上计算得到的概率分布, 允许分析几个不确定变量如何影响总体结果的不确定性. 也许最重要的是, 这种方法迫使每个参与分析和决策的人明确地认识到预测中固有的不确定性, 用概率来思考. 正如其他方法一样，这种方法也有缺点, 包括使用更复杂的模型可能带来的精度错误和过度自信的风险, 额外的工作需要选择合适的概率分布和估计它们的参数，否则只能使用点估计. |
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蒙特卡罗模拟 对不同结果的概率进行建模 财务预测 和估计. 他们的名字来自摩纳哥的蒙特卡洛地区, 哪个以高端赌场闻名世界; r和om outcomes are central to the technique, 就像他们对轮盘赌和老虎机一样. 蒙特卡罗模拟在许多领域都很有用, 包括工程, 项目管理, 石油 & 天然气勘探和其他资本密集型行业, R&D、保险; here, I focus on applications in finance 和 业务.
在仿真中，不确定输入用 概率分布，由平均值和标准差等参数描述. 财务预测的示例输入可以是任何东西，从收入和利润到更细粒度的东西, 比如商品价格, 扩张的资本支出, 或者外汇汇率.
当一个或多个输入被描述为概率分布时, 输出也变成了一个概率分布. 计算机从每个输入分布中随机抽取一个数字，计算并保存结果. 这被重复数百次，数千次或数万次，每次称为迭代. 当把这些迭代放在一起时，这些迭代近似于最终结果的概率分布.
输入分布可以是 连续, 其中随机生成的值可以取分布下的任何值(例如正态分布), or 离散，其中概率与两个或两个以上不同的情况有关.
模拟也可以包含不同类型分布的混合. 以药物R为例&有几个阶段的项目，每个阶段都有成功或失败的离散概率. 这可以与连续分布相结合，描述每个阶段所需的不确定投资金额，以及项目产生产品进入市场时的潜在收入. 下图显示了这样一个模拟的输出:损失全部投资500万欧元至5000万欧元(现值)的概率为~65%, 在100欧元到250欧元的范围内获得净收益的概率约为35%——如果关键的输出指标，如 MIRR 或净现值显示为点估计而不是概率分布.
蒙特卡罗模拟没有得到更广泛应用的一个原因是，典型的金融日常工具并不能很好地支持它们. Excel和Google表格在每个单元格中保存一个数字或公式结果, 尽管它们可以定义概率分布并生成随机数, 建立财务模型 从头开始使用蒙特卡罗功能是很麻烦的. 和, 而许多金融机构和投资公司使用蒙特卡罗模拟来评估衍生品, 分析投资组合等, 他们的工具通常是内部开发的, 专有的或昂贵的，使他们无法获得个人金融专业人士.
因此，我想提请注意Excel插件，如 @ 风险 通过栅栏, ModelRisk 由沃斯和 RiskAMP, 大大简化了蒙特卡罗模拟的工作，并允许您将它们集成到现有的模型中. 在下面的演练中，我将使用@ 风险.
让我们回顾一个简单的例子来说明蒙特卡罗模拟的关键概念:五年现金流量预测. 在本演练中, 我建立并填充了一个用于估值的基本现金流模型, 逐步用概率分布代替输入, 最后进行仿真并对结果进行分析.
开始, 我用一个简单的模型, 重点强调使用概率分布的关键特征. 请注意,, 首先, this model is no different from any other Excel model; the plugins I mentioned above work with your existing models 和 spreadsheets. 下面的模型是一个简单的现成版本，其中填充了形成一个场景的假设.
第一个, 我们需要收集必要的信息来做出假设, 然后我们需要选择正确的概率分布来插入. 重要的是要注意，无论您采用哪种方法来处理不确定性，关键输入/假设的来源都是相同的. 商业尽职调查, 在预计市场发展的背景下，对公司的商业计划进行全面审查, 行业趋势, 竞争动态, 通常包括从历史数据推断, 结合专家意见, 进行市场调查, 采访市场参与者. 根据我的经验, 专家和市场参与者乐于讨论不同的情景, 风险, 以及结果的范围. 然而，大多数都没有明确地描述概率分布.
现在让我们逐一遍历并将我们的关键输入值替换为概率分布, 从第一个预测年(2018年)的预计销售增长开始. Excel的@ 风险插件可以免费试用15天，所以你可以从 栅栏的网站 点击几下就可以安装了. 启用@ 风险插件, 选择您想要分布的单元格，并在菜单中选择“定义分布”.
然后从出现的发行版调色板中选择一个. @ 风险软件提供了70多种不同的发行版可供选择, 因此，一开始选择一个似乎很难. 下面是我最常用的几个:
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正常的. 由均值和标准差定义. 这是一个很好的起点，因为它很简单, 并且适合作为晨星方法的延伸, 在哪里为给定的输入定义一个覆盖可能已经定义的场景或范围的分布, 确保情况与基本情况对称，并且每个尾部的概率看起来合理(比如晨星例子中的25%)。. |
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约翰逊的时刻. 选择此选项允许您定义倾斜分布和尾部较粗或较细的分布(技术上添加) 偏态 和 峰度 参数). 幕后故事, 它使用一种算法从四个分布中选择一个来反映所选的四个参数, 但这对用户来说是不可见的——我们只需要关注参数.
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离散. 其中概率给出两个或两个以上的特定值. 回到R阶段&D项目的例子开始, 每个阶段的成功概率被建模为二进制离散分布, 结果1代表成功，0代表失败. |
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分布拟合. 当你有大量的历史数据点时, 分布拟合功能很有用. 这并不意味着三四年的历史销售增长, 例如, 但时间序列数据，如大宗商品价格, 货币汇率, 或者其他市场价格，历史可以提供关于未来趋势和不确定性程度的有用信息. |
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将几个不同的发行版组合成一个. 减轻个人偏见的潜在影响, 将不同来源的输入合并到一个假设中通常是一个好主意, 和/或回顾和讨论调查结果. 有不同的方法:
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 重量:20%  重量:20%  重量:60%  |
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徒手画的. 作为讨论的一部分，或者当您在起草一个不容易从现有调色板创建的模型时需要一个分布时，快速说明一个分布, 徒手功能很有用. 顾名思义，这允许您使用简单的绘画工具绘制分布. |
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现在我们看到了分布的可视化，左边有一些参数. 的 的意思是 和 标准偏差 符号应该看起来很熟悉. 对于正态分布, 平均值将是我们之前在单元格中输入的单个值. 下面以2018年的销售概率分布为例，10%代表平均值. 而你的典型模型要么只关注10%的数字, 或者有“牛市”和“熊市”的情景，分别可能是15%和5%的增长, 这现在提供了有关所有预期潜在结果的信息.
蒙特卡罗模拟的一个好处是，低概率的尾部结果可以引发思考和讨论. 只有显示上行和下行情景才能引入风险，决策者将其解释为外部边界, 不理会外界的任何情况. 这可能导致错误的决策, 暴露于超出组织或个人风险承受能力的结果. 如果所讨论的情景会产生灾难性的后果，那么即使是5%或1%的可能性也是不可接受的.
使用蒙特卡罗建模, 要注意不确定性和概率分布是如何叠加在一起的, 比如随着时间的推移. 让我们回顾一个例子. 因为每年的销售额取决于前一年的增长, 我们可以可视化地看到，我们对2022年销售额的估计比2018年的估计更不确定(使用每年的标准差和95%置信区间显示)。. 为了简单起见, 下面的例子指定了一年的增长率, 2018, 然后将同样的增长率应用到接下来的每一年，直到2022年. 另一种方法是有五个独立的分布，每年一个.
我们现在估计2018年息税前利润率的概率分布(如下所示)，类似于我们对销售增长的估计.
在这里, 我们可以使用相关函数来模拟相对市场份额和盈利能力之间存在明显相关性的情况, 反映规模经济. 相对于市场较高的销售增长和相应较高的相对市场份额的情景可以建模为与较高的息税前利润率呈正相关. 在一个公司的财富与其他一些外部因素密切相关的行业中, 比如油价或外汇汇率, 为该因素定义一个分布，并与销售和盈利能力建立关联，这是有意义的.
视时间而定, 交易规模, 还有其他因素, 建立一个操作模型并明确地输入最不确定的变量通常是有意义的. 这包括:产品数量和价格, 大宗商品价格, 外汇利率, 主要架空线路项目, 月活跃用户, 和平均每单位收益(ARPU). 还可以对开发时间等其他变量进行建模, 上市时间, 或者市场采用率.
使用概述的方法, 现在我们可以继续看资产负债表和现金流量表, 在有意义的地方填充假设并使用概率分布.
关于资本支出的说明:资本支出既可以用绝对值来表示，也可以用占销售额的百分比来表示, potentially in combination with larger stepwise investments; a manufacturing facility may 例如 have a clear capacity limit 和 a large expansion investment or a new facility necessary when sales exceed the threshold. 因为每个都是1,000 or 10,000次迭代将是模型的一次完整的重新计算, 可以使用一个简单的公式，当达到一定数量时触发投资成本.
与标准财务模型相比，构建Monte Carlo模型有一个额外的步骤:需要将我们想要评估结果的单元格特别指定为输出单元格. 软件会将每次迭代的模拟结果保存在这些细胞中，供我们在模拟完成后评估. 每次迭代都会重新计算整个模型中的所有单元格, 但是在其他细胞中迭代的结果, 哪些不被指定为输入或输出单元格, 在模拟结束后丢失且无法分析的数据. 正如您在下面的屏幕截图中看到的，我们将MIRR结果单元格指定为输出单元格.
一旦您完成了模型的构建, 只需按下“开始模拟”并等待几秒钟，就可以第一次运行模拟了.
表示为概率的输出. 而我们之前的模型给出了修改后的IRR的单个值, 我们现在可以清楚地看到，围绕这个价值有许多潜在的结果, 有不同的概率. 这让我们可以重新表述问题, 比如“我们的投资能达到预期回报率吗??到“我们达到或超过预期目标的可能性有多大??“例如，你可以使用置信区间来探索最有可能出现的结果. 可视化在与不同的涉众交流结果时很有帮助, 您可以覆盖其他事务的输出，以直观地比较当前事务与其他事务相比的吸引力和(不)确定性(见下文)。.
了解最终结果的不确定程度. 如果我们生成一张现金流随时间变化的图表, 类似于我们最初为销售所做的, 很明显，即使在销售和我们作为概率分布建模的其他输入相对适度的不确定性下，自由现金流的可变性也变得重要, 结果从0欧元左右.500万到500欧元.1亿——10倍——即使只是离平均值一个标准差. 这是不确定假设相互叠加的结果, 多年来，这种影响“垂直”地加剧了这两种影响, “水平”向下看财务报表. 可视化提供了关于这两种不确定性的信息.
灵敏度分析:引入龙卷风图形. 另一个重要的方面是了解哪些输入对最终结果的影响最大. 一个典型的例子是，相对于现金流量预测，折现率或终端价值假设的重要性往往被给予的权重过低. 处理此问题的一种常用方法是使用矩阵，其中在每个轴上放置一个键输入，然后在每个单元格中计算结果(见下文)。. 这在决策取决于一个或几个关键假设的情况下尤其有用——在这些“你必须相信什么”的情况下, (例如)投资委员会或高级管理团队的决策者可能对这些关键假设有不同的看法, 像上面这样的矩阵允许它们中的每一个找到与它们的视图对应的结果值, 并且可以决定, 投票, 或者在此基础上给出建议.
增强蒙特卡罗模拟. 当使用蒙特卡罗模拟, 这种方法可以与另一种方法相辅相成:龙卷风图. 这个可视化在纵轴上列出了不同的不确定输入和假设，然后显示了每个输入和假设对最终结果的影响有多大.
这有几个用途, 其中之一是，它允许那些准备分析的人确保他们花时间和精力来理解和验证假设，这些假设大致对应于每个假设对最终结果的重要性. 它还可以通过强调哪些假设是真正关键的，来指导敏感性分析矩阵的创建.
另一个潜在的用例是分配工程时间, 基金, 或其他稀缺资源来验证和缩小最重要假设的概率分布. 实践中的一个例子是一家由风投支持的清洁技术初创公司，我在那里使用这种方法来支持资源分配和验证其技术和商业模式的商业可行性的决策, 确保你解决了最重要的问题, 首先收集最重要的信息. 更新模型, 移动平均值, 调整概率分布, 不断地重新评估你是否专注于解决正确的问题.
Probability is not a mere computation of odds on the dice or more complicated variants; it is the acceptance of the lack of certainty in our knowledge 和 the development of methods for dealing with our ignorance. ——纳西姆·尼古拉斯·塔勒布
这是有用的 区分 之间的 风险, 定义为未来结果未知，但我们可以计算其概率的情况(想想轮盘赌)。, 不确定性在这种情况下，我们无法以任何程度的确定性估计事件的概率.
在商业和金融领域, 在实践中，我们面临的大多数情况都介于这两者之间. 我们越接近 风险 这个范围的末端, 当使用概率分布来模拟未来可能的结果时，我们就越有信心, 就像我们在蒙特卡洛模拟中做的那样, 这些将准确地反映我们所面临的形势.
我们越接近 不确定性 光谱的末端, 使用蒙特卡罗模拟(或任何定量方法)就越具有挑战性，甚至越危险。. "的概念肥尾在这种情况下，概率分布可能是有用的，但所使用的参数是错误的 在金融界受到了广泛关注, 在某些情况下，即使是近期的未来也是如此不确定，以至于任何试图用概率分布来捕捉它的尝试都将是误导而不是帮助.
除了记住以上几点, 注意你的模型的缺点也很重要吗, 2)警惕过度自信, 哪些可以被更复杂的工具放大, 3)牢记重大事件的风险，这些事件可能超出了人们之前看到的或共识的观点.
这里有两个概念，区分它们很重要:一个是对不确定性的认识和对概率的思考心态, 另一个是一个实用的工具来支持这种思考，并就此进行建设性的对话:电子表格中的蒙特卡罗模拟.
我并没有在我今天构建或使用的所有模型中使用蒙特卡罗模拟，甚至不是大多数模型. 但我所做的工作影响了我对预测和建模的看法. 只是做几次这样的练习, 甚至一次也没有, 会影响你的看法和决策吗. 和我们使用的任何模型一样, 这种方法仍然是对复杂世界的粗略简化, 以及经济学的预测者, 业务, 金融有一个 令人失望的记录 当客观评价时.
我们的模型远非完美，但是, 经过几年甚至几十年, 以及数百万或数十亿美元/欧元的投资或其他分配, 在你的决策心态和过程中，即使是很小的改进也能增加显著的价值.
我把98%的时间花在2%的概率上——劳埃德·布兰克费恩
蒙特卡罗模拟使用概率分布来模拟和可视化预测的全部可能结果. 这可以在总体层面上完成，也可以针对单个输入、假设和驱动因素完成. 然后使用蒙特卡罗方法来计算聚合水平上的概率分布.
蒙特卡洛模拟得名于摩纳哥的蒙特卡洛地区, 哪个以高端赌场闻名世界. 随机结果是这项技术的核心，就像轮盘赌和老虎机一样.
世界级的文章，每周发一次.
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